całka Riemanna paziówna: obliczyć z definicji całki(nie chodzi o samo policzenie granicy):

	1		(2n)!
lim(		n√		)
	n		n!

n→∞ (silnie są pod pierwiastkiem n−tego stopnia)

Basia: Witaj ! Tu chodzi o przedstawienie tej granicy jako granicy sum górnych (lub dolnych) jakiejś funkcji przy podziale odcinka <0,1> na n części o długości ¹_n def. całka górna ∫₀¹f(x) dx = lim_n→+∞ ¹_n*[ f(1/n}+f(2/n}+..........+f(n/n)] (zapis uproszczony dla przedziału <0,1>, ogólna definicja jest dla <a,b>, ale wtedy zapis jest potwornie skomplikowany) nie udaje mi się na razie żadnej sensownej funkcji tu dopasować bo żeby z tej definicji skorzystać trzeba mieć ¹_n* (jakaś suma) a tu nijak do żadnej sumy dojść nie mogę może trzeba by jeszcze najpierw oszacować jakimiś sumami z dołu i z góry, a dopiero potem tę definicję całki oznaczonej zastosować, ale na razie nie wiem jak pomyślę P.S. studiujesz w Opolu ? termin juwenaliów mi pasuje, ale mogły być w trym samym czasie i gdzieś indziej

paziówna: nie, studiuję w Warszawie, na polibudzie. I ja wiem, że chodzi o przedstawienie tej granicy jako szeregu, tylko jakoś nie mogłam się tego dopatrzeć i strasznie mnie to męczyło, dlatego w końcu wrzuciłam to zadanie tutaj ogólna definicja zapis jaki skomplikowany! a n ∫f(x)dx = lim ∑f(ξ)(x_i − x_i−1) b n→∞ i=1 wszystko zrozumiałe

paziówna: jako *szereg − jestem zmęczona

paziówna: ale dziękuję za podjęty wysiłek

Basia: z tego całkiem ogólnego niewiele policzysz a szczegółowo przy podziale na n równych odcinków to jest tak x_i−x_i−1=^b−a_n f(ξ)=f(a+i*^b−a_n) wtedy ta granica to całka górna f(ξ)=f(a+(i−1)*^b−a_n) wtedy ta granica to całka dolna jeśli są równe całka istnieje w praktyce najczęściej ten podział na n równych jakoś się sprawdza, ale tu też w żaden sposób tego szeregu nie mogę "wyczaić" może b. coś wymyśli, on jest od specjalnych problemów

paziówna: dla mnie trudność zadania polega właśnie na tym, że nie potrafię tu się doszukać żadnej sumy

Basia: zastanawiam się czy nie dałoby się jakoś oszacować z góry i z dołu przez sumy, które byłyby np.całką dolną i całką górną tej samej funkcji (pięknie by było),ale jak na razie idzie mi jak krew z nosa; albo b. się zlituje, albo może jak to prześpię coś mi do głowy przyjdzie najbardziej "genialne" pomysły przychodzą mi do głowy pod prysznicem i na basenie (kiedy jest pusto, cicho i spokojnie), miewam tylko czasem problem z zapisaniem w porę

b.: tak jak Basia pisze, bezposrednio chyba jest ciezko, ale − gdy mamy do czynienia z iloczynami (tutaj sa silnie), a chcielibysmy miec sumy, to sposobem jest czasami logarytmowanie i rzeczywiscie:

	1		2n!		2n!
lim ln(		(		)1/n)= lim ln (		)1/n =
	n		n!		nn n!

	1		2n!		1		(n+1)*(n+2)*...*2n
lim		ln (		) = lim		ln		=
	n		nn n!		n		nn

	1		n+1		n+2		n+n
lim		( ln		+ ln		+ ... ln		) =
	n		n		n		n

= ∫₁² ln x dx = (xlnx −x) |₁² = 2ln2 − 1, wiec po nalozeniu na obie strony eksponenty (i skorzystaniu z tego, ze jest ona ciagla)

	1		2n!		4
lim		(		)1/n = e2ln2−1 =
	n		n!		e

mozna sobie sprawdzic ze wzoru Stirlinga, czy dobrze wyszlo (mi wyszlo, ze dobrze mi wyszlo, ale moglem sie pomylic )

paziówna: wyszło dobrze, bo już kumpel pokazał sposób ale dzięki za pomoc!

Basia: Witaj b. Jak zawsze można na Ciebie liczyć.